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In mwcqgeometria, si dice mwcgcalotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una mwcwsfera è suddivisa da un mwdapiano secante. Se il piano secante passa per un mwdqdiametro della sfera le due parti si dicono mwdgemisferi. Il mwdwvolume compreso tra la calotta e il piano secante è detto mweasegmento sferico.

Il mwegcerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto mwewbase della calotta. Il mwfaraggio passante per il centro della base è un mwfqasse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto mwfgvertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta mwfwaltezza della calotta.

• Formule

• Superficie

• Volume

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

L'area della mwhasuperficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

mwhw S = 2 π π r h , {\displaystyle S=2\pi rh,}

dove mwiq r {\displaystyle r} e mwig h {\displaystyle h} sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se mwiw Ω Ω {\displaystyle \Omega } è l'mwjaangolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

mwjw S = Ω Ω r 2 . {\displaystyle S=\Omega r^{2}.}

Se si introduce l'apertura mwkq α α {\displaystyle \alpha } del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare mwkgangolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:

mwlq h = r ( 1 − − cos ⁡ ⁡ ( α α 2 ) ) , {\displaystyle h=r\left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),}

mwlw Ω Ω = 2 π π ( 1 − − cos ⁡ ⁡ ( α α 2 ) ) . {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}

Il volume della calotta sferica è dato da

mwna V = π π h 2 ( r − − h 3 ) , {\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right),}

oppure da

mwoa V = π π h 6 ( 3 a 2 + h 2 ) . {\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}).}

La relazione tra l'altezza mwog h {\displaystyle h} , il raggio di base della calotta mwow a {\displaystyle a} e il raggio della sfera mwpa r {\displaystyle r} è data da:

mwpw h = r ± ± r 2 − − a 2 , {\displaystyle h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}

mwqq r = a 2 + h 2 2 h , {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}},}

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse mwrq z {\displaystyle z} passante per l'altezza mwrg h {\displaystyle h} della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio mwrw E = { ( x , y , z ) ∈ ∈ R 3 | r − − h ≤ ≤ z ≤ ≤ r 2 − − x 2 − − y 2 , 0 ≤ ≤ x 2 + y 2 ≤ ≤ a 2 } {\displaystyle E=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ r-h\leq z\leq {\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},0\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}} :

mwsg V = ∭ ∭ E 1 d x d y d z = ∬ ∬ D ( ∫ ∫ z = ( r − − h ) r 2 − − x 2 − − y 2 1 d z ) d x d y = ∬ ∬ D ( r 2 − − x 2 − − y 2 − − r + h ) d x d y {\displaystyle V=\iiint _{E}1\ dx\ dy\ dz=\iint _{D}\left(\int _{z=(r-h)}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}1\ dz\right)dx\ dy=\iint _{D}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}-r+h\right)dx\ dy}

dove mwta D = { ( x , y ) ∈ ∈ R 2 | 0 ≤ ≤ x 2 + y 2 ≤ ≤ a 2 } . {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|0\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}.}

Passando alle coordinate polari, si ha:

mwua T = { ( ρ ρ , θ θ ) ∈ ∈ R 2 | 0 ≤ ≤ ρ ρ 2 ≤ ≤ a 2 , 0 ≤ ≤ θ θ ≤ ≤ 2 π π } {\displaystyle T=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}|0\leq \rho ^{2}\leq a^{2},0\leq \theta \leq 2\pi \}}

mwug V = ∬ ∬ T ( r 2 − − ρ ρ 2 − − ρ ρ + h ) ρ ρ d ρ ρ d θ θ = 2 π π ∫ ∫ ρ ρ = 0 a ( r 2 − − ρ ρ 2 − − ρ ρ + h ) ρ ρ d ρ ρ {\displaystyle V=\iint _{T}\left({\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}-\rho +h\right)\rho \ d\rho \ d\theta =2\pi \int _{\rho =0}^{a}\left({\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}-\rho +h\right)\rho \ d\rho }

Ricordando che mwva a = 2 2 r h − − h 2 {\displaystyle a=2{\sqrt {2rh-h^{2}}}} , si ha la tesi:

mwvw V = π π h 2 ( r − − h 3 ) . {\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right).}

• mwwwArco di circonferenza

• mwxqGeometria sferica

• mwxwSegmento circolare

• mwyqSfera

• mwywSferometro

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «calotta»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su calotta

• mwaaFormulario della sfera, su math.it.